حاصل عبارت‌های زیر را ساده کنید.
۱) $ \sqrt{۹۸} - \sqrt{۵۰} + \sqrt{۱۲۸} $
۲) $ \sqrt{۲۷} - \sqrt{۱۲} - \sqrt{۷۵} + \sqrt{۴۸} $
۳) $ ۵\sqrt{۲} + ۳\sqrt{۵۴} - ۴\sqrt{۱۲۸} $
۴) $ \sqrt{۴+\frac{۱}{۸۱}+\frac{۴}{۹}} $
۵) $ (\sqrt{۲}+\sqrt{۳})(۳\sqrt{۲}-\sqrt{۳}) $
پاسخ تشریحی:
**۱) $ \sqrt{۹۸} - \sqrt{۵۰} + \sqrt{۱۲۸} $**
* ابتدا هر رادیکال را ساده می‌کنیم:
* $ \sqrt{۹۸} = \sqrt{۴۹ \times ۲} = ۷\sqrt{۲} $
* $ \sqrt{۵۰} = \sqrt{۲۵ \times ۲} = ۵\sqrt{۲} $
* $ \sqrt{۱۲۸} = \sqrt{۶۴ \times ۲} = ۸\sqrt{۲} $
* حالا جملات متشابه را با هم جمع و تفریق می‌کنیم:
$ ۷\sqrt{۲} - ۵\sqrt{۲} + ۸\sqrt{۲} = (۷ - ۵ + ۸)\sqrt{۲} = ۱۰\sqrt{۲} $
**۲) $ \sqrt{۲۷} - \sqrt{۱۲} - \sqrt{۷۵} + \sqrt{۴۸} $**
* ساده‌سازی رادیکال‌ها:
* $ \sqrt{۲۷} = \sqrt{۹ \times ۳} = ۳\sqrt{۳} $
* $ \sqrt{۱۲} = \sqrt{۴ \times ۳} = ۲\sqrt{۳} $
* $ \sqrt{۷۵} = \sqrt{۲۵ \times ۳} = ۵\sqrt{۳} $
* $ \sqrt{۴۸} = \sqrt{۱۶ \times ۳} = ۴\sqrt{۳} $
* ترکیب جملات متشابه:
$ ۳\sqrt{۳} - ۲\sqrt{۳} - ۵\sqrt{۳} + ۴\sqrt{۳} = (۳ - ۲ - ۵ + ۴)\sqrt{۳} = ۰\sqrt{۳} = ۰ $
**۳) $ ۵\sqrt{۲} + ۳\sqrt{۵۴} - ۴\sqrt{۱۲۸} $**
* ساده‌سازی رادیکال‌ها:
* $ ۳\sqrt{۵۴} = ۳\sqrt{۹ \times ۶} = ۳ \times ۳\sqrt{۶} = ۹\sqrt{۶} $
* $ ۴\sqrt{۱۲۸} = ۴\sqrt{۶۴ \times ۲} = ۴ \times ۸\sqrt{۲} = ۳۲\sqrt{۲} $
* ترکیب جملات متشابه:
$ ۵\sqrt{۲} + ۹\sqrt{۶} - ۳۲\sqrt{۲} = (۵ - ۳۲)\sqrt{۲} + ۹\sqrt{۶} = -۲۷\sqrt{۲} + ۹\sqrt{۶} $
**۴) $ \sqrt{۴+\frac{۱}{۸۱}+\frac{۴}{۹}} $**
* ابتدا عبارت زیر رادیکال را با گرفتن مخرج مشترک ۸۱ محاسبه می‌کنیم:
$ \sqrt{\frac{۴ \times ۸۱}{۸۱} + \frac{۱}{۸۱} + \frac{۴ \times ۹}{۸۱}} = \sqrt{\frac{۳۲۴ + ۱ + ۳۶}{۸۱}} = \sqrt{\frac{۳۶۱}{۸۱}} $
* حالا جذر می‌گیریم:
$ \frac{\sqrt{۳۶۱}}{\sqrt{۸۱}} = \frac{۱۹}{۹} $
**۵) $ (\sqrt{۲}+\sqrt{۳})(۳\sqrt{۲}-\sqrt{۳}) $**
* از اتحاد مزدوج نمی‌توان استفاده کرد، پس عبارت‌ها را در هم ضرب می‌کنیم (FOIL):
$ (\sqrt{۲})(۳\sqrt{۲}) + (\sqrt{۲})(-\sqrt{۳}) + (\sqrt{۳})(۳\sqrt{۲}) + (\sqrt{۳})(-\sqrt{۳}) $
$ = (۳ \times ۲) - \sqrt{۶} + ۳\sqrt{۶} - ۳ $
$ = ۶ - ۳ - \sqrt{۶} + ۳\sqrt{۶} = ۳ + ۲\sqrt{۶} $
توضیح دهید که مخرج هر یک از کسرهای زیر چگونه گویا شده است. هر جا لازم است، راه حل را کامل کنید.
پاسخ تشریحی:
**گویا کردن مخرج** به معنای حذف رادیکال از مخرج یک کسر است. این کار با ضرب صورت و مخرج در یک عبارت مناسب انجام می‌شود تا مخرج به یک عدد گویا تبدیل شود.
**الف) $ \frac{۵}{۲\sqrt{۳}} $**
* **توضیح:** برای حذف $ \sqrt{۳} $ از مخرج، صورت و مخرج را در $ \sqrt{۳} $ ضرب می‌کنیم.
* **حل:** $ \frac{۵}{۲\sqrt{۳}} = \frac{۵}{۲\sqrt{۳}} \times \frac{\sqrt{۳}}{\sqrt{۳}} = \frac{۵\sqrt{۳}}{۲ \times (\sqrt{۳})^۲} = \frac{۵\sqrt{۳}}{۲ \times ۳} = \frac{۵\sqrt{۳}}{۶} $
**ب) $ \frac{۲}{\sqrt{۵}} $**
* **توضیح:** صورت و مخرج را در $ \sqrt{۵} $ ضرب می‌کنیم.
* **حل:** $ \frac{۲}{\sqrt{۵}} = \frac{۲}{\sqrt{۵}} \times \frac{\sqrt{۵}}{\sqrt{۵}} = \frac{۲\sqrt{۵}}{(\sqrt{۵})^۲} = \frac{۲\sqrt{۵}}{۵} $
**ج) $ \frac{۴}{\sqrt{\frac{۲}{۳}}} $**
* **توضیح:** ابتدا رادیکال مخرج را ساده کرده و سپس آن را گویا می‌کنیم.
* **حل:** $ \frac{۴}{\sqrt{\frac{۲}{۳}}} = \frac{۴}{\frac{\sqrt{۲}}{\sqrt{۳}}} = \frac{۴\sqrt{۳}}{\sqrt{۲}} $. حالا مخرج را گویا می‌کنیم:
$ \frac{۴\sqrt{۳}}{\sqrt{۲}} \times \frac{\sqrt{۲}}{\sqrt{۲}} = \frac{۴\sqrt{۶}}{۲} = ۲\sqrt{۶} $
**د) $ \frac{۲\sqrt{۷}}{\sqrt{۲}} $**
* **توضیح:** صورت و مخرج را در $ \sqrt{۲} $ ضرب می‌کنیم.
* **حل:** $ \frac{۲\sqrt{۷}}{\sqrt{۲}} = \frac{۲\sqrt{۷}}{\sqrt{۲}} \times \frac{\sqrt{۲}}{\sqrt{۲}} = \frac{۲\sqrt{۱۴}}{۲} = \sqrt{۱۴} $
**ه) $ \frac{\sqrt{۲}}{\sqrt{x}} $**
* **توضیح:** صورت و مخرج را در $ \sqrt{x} $ ضرب می‌کنیم (به شرط $x>۰$).
* **حل:** $ \frac{\sqrt{۲}}{\sqrt{x}} = \frac{\sqrt{۲}}{\sqrt{x}} \times \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}} = \frac{\sqrt{۲x}}{x} $
**و) $ \frac{۵}{\sqrt[۳]{z^۲}} $**
* **توضیح:** برای گویا کردن ریشه‌ی سوم، باید عبارت زیر رادیکال در مخرج را به یک مکعب کامل تبدیل کنیم. چون $z^۲$ را داریم، آن را در $ \sqrt[۳]{z} $ ضرب می‌کنیم تا به $ \sqrt[۳]{z^۳} = z $ برسیم.
* **حل:** $ \frac{۵}{\sqrt[۳]{z^۲}} = \frac{۵}{\sqrt[۳]{z^۲}} \times \frac{\sqrt[۳]{z}}{\sqrt[۳]{z}} = \frac{۵\sqrt[۳]{z}}{\sqrt[۳]{z^۳}} = \frac{۵\sqrt[۳]{z}}{z} $
